問題概要

$ N (\leq 555)$組の夫婦 $ 2N $ をグループ分けする．各グループに最低1組以上は夫婦の両方がいるという条件でグループ分けをするとき，ありうるわけかたのパターン数を$ 10^9+7$で割ったあまりを求めよ．

解法概要

夫と妻が同じグループに入るような夫婦 $ x $ 組と，夫と妻が別のグループに入るような夫婦 $ (N-x) $ 組を分けて考える．同じグループになる $ x $ 組の夫婦の選び方は $ _{N} C_{x}$ 通りある．

まず，夫婦が同じグループになる $ x $ 組について考える． $ x $ 組の夫婦で $ y $ 個のグループを作るときの分け方を $ S(x, y) $ 通りとすると，

$ S(x, y) = S(x-1, y-1) + y S(x-1, y) $

という漸化式ができるので，これを前処理として DP で求めておけばあとは定数時間で呼び出せる. （このように， $ x $ 個のものを $ y $ グループに分けるときの分け方の数を第二種スターリング数というらしい．)

次に，夫婦が別のグループになる $ (N-x) $ 組について考える．

夫婦が同じグループになる場合と同様に， $ y $ 個のグループを作るとすると，この2人を別々のグループに入れる入れ方は $ y(y-1) $ 通りである．これを $ (N-x) $ 組分考えるので，$ (y(y-1))^{(N-x)} $ 通りとなる．

以上から，求めるべき分け方の個数は $ \sum_{x=1}^{N} \sum_{y=1}^{x} {}_{N} C_{x} \times S(x, y) \times (y(y-1))^{(N-x)} $ 通りである．

ソースコード

#include <iostream>

using namespace std;

using ll =  long long;

constexpr ll MOD = 1000000007;
constexpr int N_MAX = 556;

ll fact[N_MAX], rfact[N_MAX];

ll perm(ll n, ll r){
    return (fact[n] * rfact[r]) % MOD;
}

ll comb(ll n, ll r){
    return (perm(n, r) * rfact[n-r]) % MOD;
}

void init(ll n){
    fact[0] = fact[1] = 1;
    rfact[0] = rfact[1] = 1;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        fact[i] = (fact[i-1] * (ll)i) % MOD;
        rfact[i] = 1;
        ll k = MOD-2;
        ll a = fact[i];
        while(k > 0){
            if(k & 1){
                rfact[i] *= a;
                rfact[i] %= MOD;
            }
            a *= a;
            a %= MOD;
            k  >>= 1;
        }
    }
}

class Stirling {
    public:
    int n, m; // ボールの個数，グループ数
    ll s[2*N_MAX][N_MAX];
    Stirling(int n, int m, bool is_the_second_kind=true): n(n), m(m) {
        if(is_the_second_kind) {
            for(int i=0;i<=n;++i) {
                s[i][0] = (i == 0)?1:0;
                if(i == 0) continue;
                for(int j=1;j<=m;++j) {
                    s[i][j] = (s[i-1][j-1] + (s[i-1][j]*j) % MOD) % MOD;
                }
            }
        }
    }

    ll get(int i, int j) {
        return s[i][j];
    }
};

ll modpow(ll a, ll t) {
    ll ret = 1LL;
    while(t){
        if(t & 1LL){
            ret *= a;
            ret %= MOD;
        }
        a *= a;
        a %= MOD;
        t >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
    ll n;
    cin >> n;
    init(n);
    Stirling s = Stirling(n, n);

    ll ans = 0LL;
    for(ll x=1;x<=n;++x) {
        for(ll y=1;y<=x;++y) {
            ans += (((comb(n, x) * s.get(x, y)) % MOD) * modpow((y * (y-1)) % MOD, n-x)) % MOD;
            ans %= MOD;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

所感

第二種スターリング数を学んだ．漸化式を立てて DP に落とし込むやり方は汎用性が高そうなので使えるようになっておきたい．

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yukicoder No.140 みんなで旅行

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